UC知道高分求用微积分详解一道题:
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 01:42:49
⑴判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性，并就f1(θ)的情形证明你的结论；
⑵证明：2f6(θ)-f4(θ)＝(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ)；
⑶对于任意给定的正整数n，求函数fn(θ)的最大值和最小值.
注明:我需要的是使用微积分详解第(3)小题.望各位高手尽可能地详细,少跳步,关键处可添加一些到位的分析,谢谢了。（好的话我会加分。）
原题在http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d0100bq0o.html。BaiDu数学格式不会打。大家看下,正确微分解出再加50分!
fn(θ)的导数=n*(sinθ)^(n-1)*cosθ-(-1)^n*n*(cosθ)^(n-1)*sinθ
=n*[(sinθ)^(n-1)*cosθ-(-1)^n*(cosθ)^(n-1)*sinθ]
当n为奇数时，右边是两个正数相加，仍大于零，因此：fn(θ)的导数>0，函数在区间上为增函数。
当θ=0时，有最小值；θ=π/4时，有最大值。
当n为偶数时，[sinθ^(n-1)*cosθ]/[(cosθ)^(n-1)*sinθ]=(sinθ/cosθ)^(n-2)， 因为在区间上，sinθ<=cosθ，所以：等式右边<=1.即：
[sinθ^(n-1)*cosθ]<[(cosθ)^(n-1)*sinθ]
[sinθ^(n-1)*cosθ]-[(cosθ)^(n-1)*sinθ]<0
所以，fn(θ)的导数<0，函数在区间上为减函数。
当θ=0时，有最大值；θ=π/4时，有最小值。
很简单。
连续函数在闭区间上的最值可能在三种点处取得：导数为零的点、导数不存在的点、区间端点。
由于 fn'(θ)=cosθ+nsinθ 存在，但显然在[0,pi/4]上，fn'(θ)>0
故断定 fn(θ)的最值在端点处取到，又因
fn(0)=-n,fn(pi/4)=(1-n)/根号2
不难断定，当n>=1时，fn(0)<fn(pi/4)
因此所求最大值为fn(pi/4)=(1-n)/根号2，最小值为fn(0)=-n
如果函数是fn(θ)=(sinθ)^n+(-1)^n*(cosθ)^n仍按上面的方法进行，此时
fn'(θ)=n(sinθ)^(n-1)*cosθ-(-1)^n*n(cosθ)^(n-1)*sinθ存在
令fn'(θ)=0，即nsinθ*cosθ[(sinθ)^(n-2)-(-1)^n*(cosθ)^(n-2)]=0
得到 θ=0（n&g