用微积分解一道题

解：方法一如图（不好意思图没有办法画出来：）设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为Y，（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Q ＝｛（X,Y）!6.5<=X<=7.5,7<=Y<=8},这是一个正方形区域,(事件A的区域为A={(x,y)!y>=x,6.5<=x<=7.5,7<=y<=8},所以他最终的结果是7／8

假设狗跑过的曲线为y=f(x)，那么由于狗一直都冲着狐狸跑，因此有：在起跑至追上间的任一时刻t0[假设此时距起跑已经过了时间t，此时狗的坐标为(x0,y0)，狐狸跑到了点D〕，曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线过D点。
写出切线的方程y-y0=f'(x0)(x-x0),在其中令x=0就得到它在y轴上的截距OD=-x0*f'(x0)+y0 (1)
另外，OD是狐狸自开始到时刻t0跑过的路程，而其速度为v1，又这段时间长度为t，所以有OD=v1*t (2)
由(1)(2)得：-x0*f'(x0)+y0=v1*t (3)
另外狗从点A(s,0)跑到点(x0,y0)所跑过的路程为从A到(x0,y0)这段曲线的弧长，为：∫{x0/1}(1+f'(x)^2)^(1/2)dx,因为狗跑时间为t，速度为v2，所以有：∫{x0/1}(1+f'(x)^2)^(1/2)dx=v2*t (4)
(3)除以(4)得：
[-x0*f'(x0)+y0] /[∫{x0/1}(1+f'(x)^2)^(1/2)dx]=v1/v2 (5)
由于点(x0,y0)是任取的，也就是说，它具有普遍的代表性，所以换成变量x同样适用，因此(5)变为： [-x*f'(x)+y]/[∫{x/1}(1+f'(x)^2)^(1/2)dx]=v1/v2
把f(x)简记为y,把f'(x)简记为y'上式变为：[-xy'+y]/[∫{x/1}(1+y'^2)^(1/2)dx]=v1/v2
即：-xy'+y=(v1/v2)[∫{x/1}(1+y'^2)^(1/2)dx]
两边求导得：