问一道归纳法的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 01:14:19
[题目]
设数列{a[n]}的前n项和为s[n]，且方程x^2-a[n]x-a[n]=0有一根为(s[n]-1)，n∈N*，求证a[n]=1/(n(n+1))

这道题规定要用归纳法做，我的问题是这样的：
1.n=1的时候成立[证略]

2.假设n=k时成立，则有
a[k]=1/(k(k+1)) [1]
(s[k]-1)^2-a[k](s[k]-1)-a[k]=0 [2]

当n=k+1时
(s[k+1]-1)^2=a[k+1](s[k+1]-1)-a[k+1]=0
即(s[k]+a[k+1]-1)^2-a[k+1](s[k]+a[k+1]-1)-a[k+1]=0 [3]
然后我由[1],[2]两式解出来sk有两个解，一个是n/(n+1)，一个是（n+1)/n
又由[2],[3]我解出a[k+1]=a[k]*s[k]/(2-s[k])
结果我将两个解都代入发觉只有一个[s[k]=n/(n+1)]是对的
还有一个是错的，能告诉我为什么另一个s[k]是错的吗？谢谢！
[3]式的前面一行第一个=改成-

因为在证明当n=k+1，命题是否成立时，其前提条件用到
在此之前的假设条件，即n=k时命题成立成立，也就是
必须a[k]=1/k(k+1) ,则此数列前K项的和为
S[k]=a1+a2+a3+....+ak
=1/1*2+1/2*3+1/3*4+.....+1/k(k+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/4+....+1/k-1/(1+k)
=1-1/( 1+k)=k/(k+1)<1
所以你由[1],[2]两式解出来sk有两个解，一个是k/(k+1)，另一个是（k+1)/k，
若选（k+1)/k，则S[k]>,1故只能选S[k]=k/(k+1）。