公司只签合同，不买保险，我提出辞职，但没交辞职书，现在我能去同行业工作吗？

公司这样的做法是违法的，这个很显然了。
建议你还是按照离职程序走完。至于去同行业，其实根据国家法律规定，是企业用工违法在先，不会给你带来不良后果的。

完全没问题，不过还是建议你提交一下书面辞职书，并且明确说明此致原因，就是由于公司未交纳社保，而且你还可以向公司索要补偿金和补交保险．

可以！
劳动合同法第三十八条 用人单位有下列情形之一的，劳动者可以解除劳动合同：（一）未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件的；（二）未及时足额支付劳动报酬的；（三）未依法为劳动者缴纳社会保险费；（四）。。。。

按程序来说，必须交辞职书，等办理完所有手续才可以。如果手续没有办理完，又没有其它（特殊）的原因，擅自不去上班，就是你违约了，是要负法律责任的。