函数y=x(2a-x)在0≤x≤2时有最大值a^2,求a的取值范围

函数y=x(2a-x)=-x^2+2ax，其图像开口向下，对称轴为x=a
1、当对称轴在区间[0，2]的左边，即a<0时，
函数在x=0时取到最大值。将x=0代入函数，依题意有
0= a^2，解出a=0，这与上面的a<0矛盾。

2、当对称轴在区间[0，2]的中间，即0≤a≤2时，
函数在x=a时取到最大值。将x=a代入函数，依题意有
a(2a-a)= a^2，解出a∈R，与上面的0≤a≤2取交集得
0≤a≤2

3、当对称轴在区间[0，2]的右边，即a>2时，
函数在x=2时取到最大值。将x=2代入函数，依题意有
2(2a-2)= a^2，解出a=2，与上面的a>2矛盾。

综上所述，a的取值范围为0≤a≤2。

y=x(2a-x)
=2ax-x^2.函数对称轴方程为X=a,抛物线开口向下,
1)a≤0时,ymax=f(0)=0≠a^2.

2)0<a≤1时,ymax=f(a)=2a^2-a^2=a^2.

3)1<a≤2时,ymax=f(a)=2a^-a^2=a^2.

4)2<a时,ymax=f(2)=4a-4≠a^2.
综上述可得,当0<a≤2时,函数y=x(2a-x)在0≤x≤2时有最大值a^2.

y=x(2a-x)即 y=-x^2+2ax ;y=-(x-a)^2+a^2 x=a时 y最大
因为0≤x≤2 时 所以a的取值范围是 0<=a<=2