与积分有关的题目(国外的)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/11 23:13:20
紧急求助,希望可以在早上十一点前得到答案,很急的,这是几道国外的物理题,可能要用到积分,希望大家可以帮忙,写的详细点!
1.一个做减速运动的物体,加速度符合这个式子a=B乘以根号V,B是一个正的常数,开始运动时速度为V0,求速度减到零的过程中所走过的路程,以及该过程需要的时间?

2.在一点在坐标平面xy内运动,按照这个规则x=mt,y=mt(1-nt),m ,n 是正的常数,求速度V和加速度a与时间t的关系?及在什么时候速度和加速度的角为四分之派?
希望高手帮忙!!

速度就等于加速度对时间的积分
v(t) = ∫a(t)dt
即a(t) = v'(t)
a(t)又等于B√v(t)，所以该问题就是求微分方程B√v(t) = v'(t)的特解。
观察此微分方程，v(t)的导数是v(t)开方的倍数，很容易想到v(t)是个完全平方式，设v(t) = (Mt+N)²，代入原方程，得到B(Mt+N) = 2M(Mt+N)，故M = B/2 ，N为任意常数，所以v(t) = (Bt/2 + C)²，C是任意常数。
t=0时v(t) = v0，故C² = v0，C = ±√v0，因为a(t)<0，对v(t)求导，得a(t) = v'(t) = B(Bt/2 + C)<0，又因B和t大于0，则C小于0。
可以确定v(t) = (Bt/2 -√v0)²
v=0时，算出所需时间t = (2√v0)/B，走过的路程是∫(0,t)v(t)dt = 2(Bt/2 -√v0)³/3B |(0,t) = 2v0(√v0)/3B。

该点的位置向量是r = (mt，mt(1-nt))，当t变化dt时，该点的位置变化了dr = (dx，dy)，则速度v就是dr/dt = (dx/dt，dy/dt) = (m，m-2mnt)，加速度a同样可求出是dv/dt = (0，-2mn)，a其实就是y轴负向，若v与a夹角是π/4，则v的横纵坐标绝对值应该相等，结果是t = 1/n