初三平分线的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 11:38:42
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F。求证:FD^2=FB·FC。

证明：连接AF
∵EF垂直平分AD
∴DF=AF（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴∠ADF=∠DAF（等边对等角）
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵∠ADF=∠B+∠BAD（外角性质），∠DAF=∠CAF+∠CAD
∴∠B=∠CAF
又∵∠F是△CAF和△ABF的公共角
∴△CAF和△ABF相似
∴AF²=BF×CF
即DF²=BF×CF

证明：连接AF
∵EF垂直平分AD
∴DF=AF（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴∠ADF=∠DAF（等边对等角）
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵∠ADF=∠B+∠BAD（外角性质），∠DAF=∠CAF+∠CAD
∴∠B=∠CAF
又∵∠F是△CAF和△ABF的公共角
∴△CAF和△ABF相似
∴AF²=BF×CF
所以DF²=BF×CF

连接AF
EF垂直平分AD

所以：FA=FD，∠FAD=∠FDA

AD是∠BAC的平分线
所以：∠BAD=∠CAD

因为∠CAF=∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD=∠B
又因为：∠AFB=∠AFB

所以△BFD∽△DFC
所以：FD^2=FB·FC