打架轻伤和轻微伤

派出所说的没错，如果双方打架时都动了手，但不构成轻伤以上，双方当事人就都涉嫌了殴打他人（或故意伤害），经公安机关调解后如果双方达不成协议或者达成协议不履行的，公安机关就会依据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条的规定，对双方当事人进行处罚（但不一定非拘留，依据规定轻节轻的可以罚款处罚）。依法处罚后有关民事赔偿你父亲可以依法起诉到法院，要求对方赔偿你父亲的各项损失。而不是拘留了就不用赔偿了。
至于谁先动手，谁后动手，当然和处理有关系了，公安机关处罚时会考虑这些因素的。
附：《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条 殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
有下列情形之一的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款：
（一）结伙殴打、伤害他人的；
（二）殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人的；
（三）多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。

先挑衅动手的责任相对教大
受伤严重的责任相对教小
互打都要拘留 追究相互责任 没错

赔偿医药费是民法调整，不关治安管理处罚条例的事。不过如果情节不怎么严重，赔偿到位了、态度诚恳了，派出所一般就不关他了，你不答应也没用。

可以提起刑事自诉，要求赔偿