已知 ABC的内心为I。BC的中点为M,AC的中点为N。MI交AC于D,NI交CB延长线于E。已知

∠C=60°

用梅涅劳斯定理和角平分线定理可解。梅涅劳斯定理用作平行线或者面积法很容易证明，这里给个参考资料：
http://baike.baidu.com/view/148234.htm

证明如下：
记CI交AB于P，MD交BA的延长线于X，NE交AB于Y。根据S△CDE=S△ACB可知CA*CB=CD*CE
0) 首先考虑X于A重合的特殊情形。若X于A重合，也就是X、D、A三点是重合的，那么AM既是角平分线又是中线，于是AC=AB。根据CA*CB=CD*CE可知E和B也是重合的，那么BN既是角平分线又是中线，于是AB=BC。△ABC是等边三角形，自然∠C=60°

1) 以下是非特殊情形。AI平分∠CAP，根据角平分线定理：CI/PI=CA/PA；BI平分∠CBP，根据角平分线定理：CI/PI=CB/PB。于是CI/PI=(CA+CB)/(PA+PB)=(a+b)/c

2) CP平分∠ACB，根据角平分线定理：PA/PB=CA/CB。于是PA=bc/(a+b)，PB=ac/(a+b)

3) XIM割△CPB，根据梅涅劳斯定理：(PX/BX)*(BM/CM)*(CI/PI)=1，注意BM=CM，于是PX/BX=PI/CI=c/(a+b)，进而PX/PB=c/(a+b-c)，PX/PA=(PX/PB)*(PB/PA)=ac/(ab+b^2-bc)，PX/AX=ac/[(a+b)(c-b)]

4) XDI割△CPA，根据梅涅劳斯定理：(CD/AD)*(AX/PX)*(PI/CI)=1，于是CD/AD=(PX/AX)*(CI/PI)=ac/[(a+b)(c-b)] * (a+b)/c=a/(c-b)

5) 同理可知CE/BE=b/(a-c)，进而CB/BE=(b-a+c)/(a-c)

6) 根据CA*CB=CD*CE可知CD/AD=CB/BE，即a/(c-b)=(b-a+c)/(a