已知,△ABC中,∠A=90°,AD是BC边上的高,BE是∠ABC的角平分线,且交AD于P.求证:AE=AP。

自己画图,结合来看;
证明:
BE是∠ABC的角平分线 ==> ∠ABE=∠PBD

AD是BC边上的高 ==> ∠PDB=90°

∠AEB=180°- ∠A -∠ABE =180°-90°-∠ABE
∠APE=∠BPD=180°-∠PDB-∠PBD=180°-90°-∠PBD

所以∠APE=∠AEB ==> AE=AP

因为AD是BC边上的高 所以∠ADB=90°
因为BE是∠ABC的角平分线 所以∠ABE=∠CBE
因为∠ADB=∠A=90°∠ABE=∠CBE 所以△BPD和△ABE相似 ∠AEB=∠BPD
因为∠BPD与∠APE为对角 所以∠BPD=∠APE ∠AEB=∠APE
因为∠AEB与∠APE在同一个三角形内，且∠AEB=∠APE 所以△AEP为等边三角形
所以AE=AP