一些初二数学竞赛题3

第十三题
AD-BC=1，
A^2+B^2+C^2+D^2-AB+CD=1
A^2+B^2+C^2+D^2-AB+CD-AD+BC=0
2A^2+2B^2+2C^2+2D^2-2AB+2CD-2AD+2BC=0
(A^2-2AB+B^2)+(B^2+2BC+C^2)+(C^2+2CD+D^2)+(D^2-2DA+A^2)=0
(A-B)^2+(B+C)^2+(C+D)^2+(D-A)^2=0
所以A-B=0
B+C=0
C+D=0
D-A=0
所以A=B
D=A
A=B=D
C=-B=-D=-A
ABCD=-A^4
AD-BC=1
A^2+A^2=1
A^2=1/2

所以ABCD=-A^4
=-1/4

第十四题
注意到四个根号中的最后两个
它们根号下分别要不小于0
即
x-10+y>=0
10-x-y>=0
即10<=x+y<=10
所以x+y=10
此时原式右边为0
所以左边也为0
而左边的两项由于都不小于0
3x+5y-2-m=0
2x+3y-m=0
两式相减得
x+2y-2=0
结合x+y=10得
x=18,y=-8
代入（1）式得m=12
第十五题
1-a>=0;
(1-a)(a-1-a^2)>=0;
由于a-1-a^2=-(a-1/2)^2-3/4
所以只有a-1=0;
即a=1,|x|=0,|y|=0,结果为2.

第十六题
x=(√5-1)\2
两边平方得到x^2=1-x
即x^2+x=1
(x+a)(x^2+x-1)=0
展开得到x^3+(a+1)x^2+(a-1)x-a=0
运用待定系数法，得到a+1=0，a-1=p,-a=q
故p=-2,q=1