求助：用海伦定理证明三角形周长一定时，等边三角形面积最大

这个用均值不等式即可证明

假设三角形的三边为a、b、c，记p=(a+b+c)/2，根据海伦公式，三角形的面积S=√[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]
在周长一定即p一定的情况下，根据三元均值不等式：xyz<=((x+y+z)/3)^3 （x, y, z是非负数）有：
(p-a)*(p-b)*(p-c)<=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]^3/27=p^3/27，当p-a=p-b=p-c即a=b=c时候取等号，于是S<=(√3/9)p^2

附：关于均值不等式，请参考：http://baike.baidu.com/view/441784.htm
三元的证明如下：
(x+y+z)^3-27xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3x(y^+z^2-2yz)+3y(z^2+x^2-2zx)+3z(x^2+y^2-2xy)>=0
四部分每部分都是非负数，移项变形即得

一下用SQRT()表示根号
周长一定，即P为常数

sqrt((p-a)(p-b)(p-c))
<=sqrt((((p-a)+(p-b)+(p-c))/3)^3)
=sqrt((1/3*p)^3) (均值不等式)

所以三角形面积=
sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
<=sqrt(p^4/27)
=sqrt(3)/9*p^2

当且仅当p-a=p-b=p-c
即a=b=c时
不等式取到等号

所以命题得证