求高一数学函数题

题目应该是写错了，理论上x=y=0,带入得到f（0）=f^2(0)，有条件可证f（0）=1
对任意x=y可得 f(2x)+f(0)=2f^2(x)
对x=-y, f(2x)+f(0)=2f(x)f(-x)
等号右边可得f(x)f(x)=f(x)f(-x)，并且f(x)不横为零，所以f(x)=f(-x)

令x=y=0，得2f(0)=2*[f(0)]^2 且f(0)不等于0
所以f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),所以 f(x)为偶函数，从而
f(x+c)+f(x)=f(x+c)+f(-x)=2f(c/2)f(x+c/2)=0,
所以有f(x+c)=-f(x)成立