求一个高三函数题的解法

(1)
f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)
令y=x，则f(1)=1=[f(x)]^2+[f(x-1)]^2————注意此式，很重要。
于是，[f(1)]^2+[f(0)]^2=1=>f(0)=0；
[f(0)]^2+[f(-1)]^2=1=>f(-1)=-1（因为f(-1)<1）。
又因为[f(2)]^2+[f(1)]^2=1=>f(2)=0，
所以f(3)=f(2-0+1)=-1。
综上，f(-1)=-1，f(3)=-1。

(2)
由于[f(-1)]^2+[f(-2)]^2=1，所以f(-2)=0。
而f(-x)=f(-1-x+1)=f(x)f(-1)+f(x-1)f(-2)=-f(x)，故f(x)是奇函数。
并且，易知f(y+1)=f(y-0+1)=f(0)f(y)+f(-1)f(y-1)=-f(y-1)。

那么我们可以进行计算了。
f(1-6x)
=f(-3x-3x+1)
=f(3x)f(-3x)+f(3x-1)f(-3x-1)
=-[f(3x)]^2-f(3x-1)f(3x+1)
=-[f(3x)]^2+[f(3x-1)]^2
因此，0.5f(1-6x)+[f(3x)]^2
=-0.5[f(3x)]^2+0.5[f(3x-1)]^2+[f(3x)]^2
=0.5[f(3x)]^2+0.5[f(3x-1)]^2
=0.5{[f(3x)]^2+[f(3x-1)]^2}；
但是，对于任意的x，[f(x)]^2+[f(x-1)]^2=1。
因此我们所求的式子等于0.5。

这个真不好做……关系很复杂。

题外话：
由(1)易知，[f(2n+1)]^2=1，故f(2n)=0，n为整数（可以用归纳法证明）。
因为f(2n+1)=f(2n-0+1)=f(2n)f(0)+f(2n-1)f(-1)=-f(2n-1)，
所以f(2n+1)=(-1)^n。
于是，我们得到了f(x)在一切整数点