求值域 满意立刻给分

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 12:24:02
求（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)的值域，其中x,y,z是不全为0的实数。不要用三角代换或均值不等式，还没学到。

解:(XY+2YZ)/(X^2+Y^2+Z^2)
由基本不等式
X^2+(1/5)Y^2>=(2*1/√5)XY
(4/5)Y^2+Z^2>=(2*2/√5)YZ
两式相加
X^2+Y^2+Z^2>=(2*1/√5)XY+(2*2/√5)YZ
X^2+Y^2+Z^2>=(2/√5)(XY+2YZ)
(XY+2YZ)/(X^2+Y^2+Z^2)<=√5/2
取等号时
X^2=(1/5)Y^2 Y=√5X X=1/√5Y
(4/5)Y^2=Z^2 2Y=√5Z Z=2/√5Y
所以值域(√5/2,-∞)