用一个母函数来求出一共有多少种不同的从1,2,...,n中选出5个不连续的整数的组合

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/01 04:43:04

请给一个母函数，写成多项式乘积形式，再告诉我这个组合的总数是那一项的系数就可以了，再通过组合思想简单地解释一下，谢谢了！！
补充下,不连续是说任二整数都不连续
我知道答案是
(1+x^1+x^2+...)(x+x^2+x^3+...)^4(1+x^1+x^2+...)
然后组合的总数就是n-5次项的系数
可是我不懂为什么，请帮忙解释一下。。。谢谢

任意位置的组合有：n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)
连续的组合有：n-5+1=n-4;
所以不连续的组合为:n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)-n+4.

如果不考虑连续的问题
则组合数有
n个中选5个的组合数=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/(1*2*3*4*5)
=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120

考虑连续的情况
n个数中两个数连续的情况有n-1种
在保证至少两个数连续的情况下的组合数为
(n-2)个数中选3个的组合数载乘以两个数连续的种数（n-1)
=(n-1)*[(n-2)(n-3)(n-4)/(1*2*3)]
=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/6

则上面的种数是包含至少两个数连续的所有情况

则没有连续的种数的情况为
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/120-(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/6
=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n/120-1/6)

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