这个积分是怎么求出来的？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 23:18:46
∫[x^4(1+x^2)]/dx
这个积分我看书中用第二换元法，设x=1/t;
用1/t代换x后就算出这个等式。
＝-∫t^4dt/(t^2+1);

我不知道代入后怎么算出来的这步，请给详细的一点的步骤。
不好意思，打反了。
是∫[dx/[x^4(1+x^2)]

/dx ??? 不对吧？

∫[x^4(1+x^2)]dx
=∫x^4dx+∫x^6dx

=(1/5)x^5+(1/7)x^7+ Constant

x=1/t
x^4√(1+x^2)
=(1/t)^4√[(1+t^2)/t^2]
所以1/[x^4√(1+x^2)]
=t^5*[1/√(1+t^2)]
dx=-1/t^2dt

所以原式=∫-t^5/t^2√(1+t^2)dt
=∫-t^3/√(1+t^2)dt
=-(1/2)∫t^2*(1+t^2)^(-1/2)d(1+t^2)
=-∫t^2d√(1+t^2)
分部积分
=-t^2*√(1+t^2)+∫√(1+t^2)dt^2
=-t^2*√(1+t^2)+∫√(1+t^2)d(1+t^2)
=-t^2*√(1+t^2)+(2/3)(1+t^2)^(3/2)+C
=-(1/x^2)√(1+1/x^2)+(2/3)(1+1/x^2)^(3/2)+C
=-[√(x^2+1)]/x^3+(2/3)*(x^2+1)^(3/2)/x^3+C
=[√(x^2+1)]/3x^3*[-3+2(1+x^2)]+C
=[√(x^2+1)]/3x^3*(2x^2-1)+C
=[√(x^2+1)]/3x^3*[3x^2-(x^2+1)]+C
=3x^2*[√(x^2+1)]/3x^3-(x^2+1)*[√(x^2+1)]/3x^3+C
=[√(x^2+1)]/x-(x^2+1)*[√(x^2+1)]/3x^3+C
=[√(x^2+1)]/x-[√(x^2+1)^3]/3x^3+C

设x=1/t，则dx=(-1/t^2)dt.
∫1/[x^4(1+x^2)]dx
= -∫t^4/(t^2+1)dt
= -∫[(t^4-1)+1]/(t^2+1)dt
= -∫{(t^2-1)+[1/(t^2+1)]dt
= -t^3/3+t-arctant+C
= -1/(3x^3)+1