怎么证明两个上三角矩阵积还是上三角矩阵

对初学者而言最好的证法还是直接按乘法的定义直接验证，这样有助于理解，注意上三角矩阵的元素满足i>j时A(i,j)=0。

你如果实在需要“高级”的证法，那么可以这样：
记e_k是单位阵的第k列，那么Be_k是B的第k列，是e_1,...,e_k的线性组合，归纳一下就得到ABe_k仍然是e_1,...,e_k的线性组合。