数学分析题目1

7.
任取x属于A的补集，x不属于A
假设对任意正整数n，(x-1/n,x+1/n)与A的交非空
那么存在xn属于两者的交，且xn不等于x
显然序列{xn}趋于x
同时可以找到子列{xnk}单调收敛于x
有题目，x属于A，矛盾
故存在n0使得(x-1/n0,x+1/n0)与A的交为空
故(x-1/n0,x+1/n0)包含于A的补
从而A的补集为开集，A为闭集

8.
{an}有界，存在子列{ank}收敛，{bnk}有界，存在子列{bnkj}收敛，则{ankj}和{bnkj}同时收敛

9.反例
A={n}n>0
B={n-1/n}n>0
A,B都是闭集，
dist(A,B)=0
但任意n属于A，m-1/m属于B相减不等于0