在非欧几何中，三角形的两边之和能否小于第三边？

据我所知，在大多数常见的非欧几何体系中，两点之间最短的路径仍然是直线段，因为通常在比较有意义定义下，会选取内蕴的度量。因此它的直接推论就是三角形的两边之和大于第三边，也就是度量的三角不等式。

在非欧几何里面倒是有这样的结论：三角形的内角和一般不是180度。
因为欧氏几何的平行公理和三角形内角和定理是等价的，如果在Hilbert绝对几何的框架下把平行公理换成别的形式，那么三角形的内角和就不是180度了。比较简单的例子在球面几何和双曲几何里面，这很容易在比较初级的几何教材里找到。

二楼的讲法看起来像是在忽悠，如果是曲边三角形，那么在欧氏空间里也很容易找到例子，比如150度的扇形。一般来讲三角形的每一条边是(这个空间中的)某条直线的一个单连通子集，用曲边三角形做例子没有意义。当然，我所学有限，如果你认为我的评价有问题欢饮向我指出。

这种说法应该是正确的，欧几里德几何的任何一个三角形都被限制在一个平面上，而非欧几何三角形的三条边可以在空间中自由伸展，因为它所在的面是可以在空间中伸展的。LZ其实可以反过来思考一下，如果有一个三角形它的两条边在传统的欧几里德平面上是刚性的（其实平面是曲面的一个特例，就是任何地方的曲度都为零的一个曲面），而另一条边是“橡皮筋”之类有弹性的材料，那么完全有可能把“橡皮筋”拉得比另两边之和还要长

...从没听说过。
但是我只是有点疑问：在那种面上 能算平面么? 它的边还是直线么？那它还是三角形么？
补充几点：非欧几何 是听说过，好像还有其它两种，比较奇特，在下没有机会去学习，听说是把平面拟球化了的，任何平面的直线都是有交点的，不存在平行线=。=

凹面就是了...