wouldn't you know it

这种情况属于倒装，是部分倒装，即将谓语的一部分，如助动词或情态动词，移至主语之前。为了强调或表生动。

wouldn't you know it 就是“你大概不知道吧，或你还不知道吧”

wouldn't you know it = you wouldn't know it.
这是否定句的倒装用法

这是否定疑问句的一种用法，表示带有某种特殊的情绪，而不是真正的问题，不需要回答 Yes, I would.或 No, I wouldn't.
全句分析：句子是 you wouldn't know it, ...的疑问形式，所以倒装。
主语是you, 谓语是Wouldn't ... know, 宾语是it,
后面从they开始到底是it 的同位语从句。
正式的使用例如考试时，同位语从句必须由that引导，这个that
不可以省略，所以原句应改为：
Wouldn't you know it, that they invited me to...
意思是： 你不想知道吗，他们邀请我到美国乒乓队去访问白宫。

和don't you wish一个类型的，自己猜猜！