x-tanx=0有无穷多根怎么证

任取tanx的一个周期（kpi-pi/2,kpi+pi/2)，

那么在闭区间[kpi-arctan(kpi-pi/2),kpi+arctan(kpi+pi/2)]（它包含于上述周期内）上f(x)=x-tanx在连续。

并且f(kpi-arctan(kpi-pi/2))=kpi-arctan(kpi-pi/2)-kpi+pi/2>0,
f(kpi+arctan(kpi+pi/2))=kpi+arctan(kpi+pi/2)-kpi-pi/2<0.

因此根据连续函数的零点性质，
必有xk∈(kpi-arctan(kpi-pi/2),kpi+arctan(kpi+pi/2)),
进而xk∈（kpi-pi/2,kpi+pi/2)，
使得，f(xk)=0

这就证明了在每个区间（kpi-pi/2,kpi+pi/2)，k∈Z,内，x-tanx=0都至少有一个跟，因此它有无穷多个根。

令Y=X 且
Y=tanx

组成方程组 观察两方程所代表的直线 会发现有无数的交点 即有方程组无数的根 方程有无数解

设函数y=x,y=tanx，画出函数的图像，y=tanx周期函数，y=x值域和定义域任意实数，两函数无穷个交点，无穷解