等比数列中求S1+S2+...+Sn 首项为a 公比为q（不等于1）

解：S1+S2+..+S3=a+aq+...+[a(1-q^n)]/(1-q)
=a[1+q+q^2+...+(1-q^5)/(1-q)]
=a*[1(1-q^5)/(1-q)]
=[a(1-q^5)]/（1-q）

当q=1时，S1+S2+S3+……+Sn=（1+2+3+……+n）*a1 =n*(n+1)*a1/2

当q不等于1时，Sn=(a(n+1)-a1)/(q-1)
S1+S2+S3+……+Sn
=[(a2+a3+a4+……+a(n+1))-n*a1]/(q-1)
=a2*(q^n-1)/(q-1)^2-n*a1/(q-1)

解：
Sk=a(1-q^k)/(1-q)

Tk=(1-q)Sk/a-1=-q^k是以q为公比，首项为-q的等比数列，

所以T1+T2+...+Tn=（1-q)(S1+S2+...+Sn)/a-n=-q(1-q^n)/(1-q)

从而S1+S2+...+Sn=[n-q(1-q^n)/(1-q)]a/(1-q)=[n-(n+1)q+q^(n+1)]a/(1-q)^2

Sn=a(1-q^n)/(1-q),
所以S1+S2+...+Sn=a(1-q+1-q^2+……+1-q^n)/(1-q)
=a[n-(q+q^2+……+q^n)]/(1-q)
由于q+q^2+……+q^n=q(1-q^n)/(1-q),代入上式，
得S1+S2+...+Sn=a[n-q(1-q^n)/(1-q)]/(1-q)
=a[n-nq-q-q^(n+1)]/(1-q)^2