【高分】园内接四边形的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 12:44:58
如图，ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD相交于点E，延长DA、CB相交于点F．∠CAD＝60°，DC＝DE．
求证：点A为△BEF的外心．

这个不要怕麻烦，稍微算一下就有了。

注意到
/_ABE=/_ACD=/_DEC=/_AEB
把这个角记为x，从而有AE=AB。
/_ABF+/_ABE+/_EBC=180° => /_ABF=120°-x
考察三角形BCE得/_CED=/_CBE+/_BCE => /_BCE=x-60°
考察三角形CDE得/_CDE=180°-2x
再考察三角形CDF
/_DFC+/_CDF+/_DCF=180° => /_DFC=180°-2/_BCE-/_ACD-/_CDE
把前面的式子都代进去就可以得到/_DFC=120°-x=/_ABF，从而AF=AB，即A是BEF的外心。

证明：取弧CAD中点G，连GD，GC， GC=GD

1)∵DC＝DE∴∠DEC=∠DAC

        ∵ ∠DAC与∠ABD为同圆弧ad∴∠DAC=∠ABD

        对顶角：∠DEC=∠AEB

        综上得∠ABE=∠AEB

＝＞AB=AE

      2)  △GCD是等边三角形且DC＝DE

＝＞△AGD全等于△AED（角边边）

∠GDA = ∠BDA

∵∠ABF=∠CDF, ∠ACB =∠BDA = ∠GDA

∠AFB =∠DAC -∠ACB= 60°-∠ACB

∠CDF =∠GDC -∠GDA = 60°-∠GDA

 

∴∠AFB=∠CDF =∠ABF

＝＞AB=AF

由1）、