已知A(3,0)B(0,3），抛物线C的方程是y=-x^2+mx+1,抛物线C与线段AB有且只有一个公共点，求m的取值范围

经过线段AB的方程为：
k=(3-0)/(0-3)=-1
所以y=-x+b
因为过点A(3,0)
0=-3+b
b=3
所以y=-x+3
代入抛物线方程得：
-x+3=-x^2+mx+1
x^2-(m+1)x+2=0
因为有且只有一个公共点，即只有一个解，所以
△b=b^2-4ac=(m+1)^2-4*1*2=0
（m-1）^2=8
m-1=±2√2
m=1±2√2

一楼回答错了，他忽略了AB是个线段，而不是直线这一条件。

解：
对于抛物线C，令X=0,则y=1，所以抛物线C必过定点（0，1），
而（0，1）在B（0,3）下方，
也就是抛物线C在x=0时在线段AB：y=3-x(0<=x<=3) 的下方。

下面分两类讨论：
（1）
如果抛物线C与直线AB有两个交点，但在0<=x<=3时与线段AB只有一个交点。由于抛物线C在x=0时在线段AB下方，所以只需抛物线C在x=3时在线段AB上方，即f(3)=-9+3m+1>0,得到m>8/3,
(2)
如果抛物线C与线段AB相切，
将y=-x+3代入抛物线方程得：-x+3=-x^2+mx+1，令△=0，
得m=±2√2-1,
将m=-2√2-1带入-x+3=-x^2+mx+1，得到x=-√2，又0<=x<=3，所以此时切点不再线段AB范围内，舍去。
将m=2√2-1带入-x+3=-x^2+mx+1，得到x=√2，符合0<=x<=3，成立。

综上，m=2√2-1或 m>8/3。

至于为何0<=x<=3，而不是R，这表示只在横坐标在0到3之间有意义。如果是R，那就表示AB可以向两边无限延伸，那AB就成了直线，而不是线段了，与题目中AB是线段不合。
（老兄，回答了这么多，你也已经是4级助理了，多加点分吧）