变分法习题 求解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 18:41:36
在所有经过（0，0）和（1，1）的抛物线中，确定一个抛物线，满足，绕X轴旋转一周后在X=0和X=1之间有最小体积。
答好了追加200分。。
要过程 还有最后答案我知道 想要过程 答案是y=1/2(5x^2-3x) 就这些分了 积分我明白抛物线公式 我也知道应该是 y=x+cx(1-x) , C是怎么确定的啊。

参考答案：y=2.5x^2-1.5x，可惜没公式编辑器打不出来积分那些公式。。
用积分公式，设抛物线是f（x）=ax^2+(1-a)x,再用体积公式，得，V=π乘以在0到1上f（x）平方的积分，整理得：V=π*（a^2/5+(1-a)^2/3+a*(1-a)/2）=π*(a^2-5a)/30+π/3=π*(a-2.5)^2/30+π/8当a=2.5时V最小，所以抛物线方程得到为y=2.5x^2-1.5x
严谨点的话应该讨论x=ay^2+(1-a)y的体积然后和上面的作比较，最后得到的答案无意义，我也不知道怎么解释好，大概是这种情况下f（x）不唯一所以无法积分或者说积分无意义，综上大体如此了

基本做法就是把体积写成关于C的函数V=V(C)，然后通过解V'(C)=0来求出极值点，过程楼上已经写了。
很多变分问题都是这个路子，把参量从函数转化为数或向量，然后就化成数学分析里面能解决的极值问题了。

另外给楼上一些建议，关于“严谨”的。
1.平面上的抛物线还有对称轴不平行于坐标轴的，出题人没有考虑，你也不必考虑太多，要严谨的话仅考虑y=f(x)型和x=g(y)型也是不够的。
2.对于x=g(y)，积分不应该是无意义的，大不了对两个单值支分别算，你有兴趣的话重新去算算。

比较复杂

y^2=x