数学证明题帮忙啊！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 18:50:14
设数列{An}满足：A1=1,且当n∈N*时，An^3+An^2×[1－A(n+1)]+1=A(n+1）,
若Bn=(1-An^2/A(n+1)^2)*1/An
证明:0<B1+B2........+BK<2

要过程！

证明：可将已知变形为A(n+1)=1+An^3/(1+An^2)=1+An-An/(1+An^2)≥An+1/2,易见An是恒正的，An＜A(n+1),于是Bn=(1-An^2/A(n+1)^2)*1/An＞0，所以0<B1+B2........+BK，不等式前半部分得证。
由于(1-An/An+1)^2＞0，所以1-An^2/A(n+1)^2＜2（1-An/A(n+1)),于是Bn=(1-An^2/A(n+1)^2)*1/An＜2（1-An/A(n+1))*1/An=2（1/An-1/An+1),所以B1+B2........+Bk＜2（1/A1-1/Ak+1)＜2/A1=2,于是不等式后半部也得证。

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