一道函数求最值题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 23:48:49
某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处,已知AB=20km，CB=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm．
(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km),将y表示成x的函数关系式；
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短

请各位详细解答第二问(必须选用②)
图如下:

一会儿给您一个图片解答。

1. AO=BO=10/cosθ, PO=10-10tanθ
y=20/cosθ+10-10tanθ=10(1-tanθ-2/cosθ)

2. OP=x, OA=OB=根号((10-x)^2+10^2)
y=x+2根号(x^2-20x+200)

3. 用第二个的话~
y'=1+(2x-20)(x^2-20x+200)^(-1/2)=0
(x^2-20x+200)=(2x-20)^2
x^2-20x+200=4x^2-80x+400
3x^2-60x+200=0
x=(30-10根号3)/3
代入原式
x^2-60=-200/3
所以y=x+2根号(400/3)=(30-10根号3)/3+40根号3/3
=10+10根号3

所以最小距离是10+10根号3
位置是x=(3