设函数f(x)=2的x次方-2的负x次方，当x∈（-1，1）时，恒有f(1-m)+f(3-2m)<0,求实数m的取值范围

当x∈（-1，1）时，恒有f(1-m)+f(3-2m)<0。
首先1-m∈（-1，1）且3-2m∈（-1，1）,解得m∈(1,2)
其次研究f(x)的奇偶性。f(x)的定义域为R，关于原点对称，因为f(-x)=2^(-x)-2^x=-[2^x-2^(-x)]=-f(x)所以f(x)是奇函数。
下面研究其单调性。f'(x)=[2^x+2^(-x)]ln2>0 在R上恒成立，所以f(x)单调递增。
最后解不等式当x∈（-1，1）时，恒有f(1-m)+f(3-2m)<0。移项得f(1-m)<f(2m-3) 等价于1-m<2m-3，等价于m>4/3所以m的范围是(4/3,2)
可见，我们遇到新函数时，首先要研究函数的基本性质，然后再利用性质解题，才是正确的思路。

1-m,3-2m在（-1，1）上，解得m∈(1,2)
f(-x)=-f(x).由f(1-m)+f(3-2m)<0得f(1-m)<f(2m-3)。
f'(x)=[2^x+2^(-x)]ln2>0，f(x)单调递增，所以1-m<2m-3，m>4/3
所以m的范围是(4/3,2)

1-m,3-2m在（-1，1）上，解得m∈(1,2)
f(-x)=-f(x).由f(1-m)+f(3-2m)<0得f(1-m)<f(2m-3)。
f'(x)=[2^x+2^(-x)]ln2>0，f(x)单调递增，所以1-m<2m-3，m>4/3

f(-x)=2^(-x)-2^x=-f(x)
f(0)=0
所以f(x)为偶函数
f(x+1)-f(x)=2^x+2^(-x-1)>0
所以f(x)在(-1,1)上为增函数
f(1-m)=-f(m-1)
所以f(3-2m)<-f(1-m)=f(m-1)
即3-2m<m-1 解得m>4/3
定义域-1<1-m<1 -1<3-2m<1
综上得到m的范围是(4/3,2)