若方程lgkx=2lg(x+1)有且仅有一个实根,那么k的取值范围是

lgkx=2lg(x+1)=lg(x+1)^2,
kx=(x+1)^2=x^2+2x+1
x^2+(2-k)x+1=0.
有且仅有一个实根
(2-k)^2-4=0
2-k=2,k=0,(不符,舍)
2-k=-2,k=4.

解：若k=0，则lg（kx）无意义，此时方程lg（kx）=2lg（x+1）无实根；
①若k＞0，则方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，即
kx=（x+1）2只有一个正根，
则 2-k＜0(2-k)2-4=0​，
解得：k=4
②若k＜0，由于方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，
分别作出函数y=lg（kx）和y=2lg（x+1）的图象，它们始终有一个交点，
∴方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，
∴k＜0符合题意．
综上满足条件的实数k的范围k＜0或k=4．

k=4
k=0舍掉