一个关于向量的数学题目。

设向量X=向量a+N倍向量b
向量x=(1,-1)+n(3,4)
向量x=(1+3n,4n-1)
||向量x||=(1+3n)^2+(4n-1)^2=25(n-1/25)^2+49/25
故n=1/25时，||x向量||最小
由于向量X⊥向量b
故向量X·向量b=(1+3n,4n-1)·(3,4)=9n+3+16n-4=25n-1=0
故n=1/25时，向量X⊥向量b
故n=1/25时，既是绝对值X最小时，也使向量X⊥向量b

设向量X=（x，y）
则(x,y)=(1,-1)+n(3,4)
即(x,y)=(1+3n,4n-1)
|（x，y）|=√（x²+y²）=√[（1+3n）²+（4n-1）²]
向量X的绝对值也就等于点P(-3n,4n)到定点M（1，1）的距离
现在就是要使这个值最小
P(-3n,4n)是在直线l：4x+3y=0上的一个动点
当M（1，1）到该动点的距离等于P（1，1）到该直线的距离时，这个距离就最小了
也就是PM⊥l的时候，距离最小，那么斜率乘积为-1
则[(4n-1)/(-3n-1)]*(-4/3)=-1
得n=1/25
则(x,y)=(1+3n,4n-1)=（28/25,-21/25)
此时，向量X*向量b=（28/25,-21/25)=0
即向量X垂直向量b
故原命题得证