有什么数域K上的线性方程组转化过后不在K上的例子么

对于线性方程组而言问题不大，可以把所有的运算都限制在数域K上。但是特征值问题就不一样了。

你的教材上没有数域的定义吗？那么简单一点讲数域就是一个四则运算封闭的集合，简单的例子比如有理数域、实数域、复数域。