初二难题50分

证明：
作EF⊥AB于F
∵CD⊥AB，∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B
∵∠CPE=∠ACD+∠CAE，∠CEP=∠B+∠BAE
∵∠BAE=∠CAE
∴∠CPE=∠CEP
∴CP=CE
∵AE是角平分线
∴EC=EF
∴CP=EF
∵∠CPQ=∠EFB=90°，∠CQP=∠B
∴△CPQ≌△EFB
∴CQ=BE
∴BQ=CE

证明：作EF⊥AB于F，（注：不需要连接PF）。∠ACB=90°,CD为斜边AB上的高,AE为∠CAB的角平分线，则直角三角形ACE和直角三角形AEF全等（角，角，边），CE=EF。 ∠CAE+∠AEC=∠PAD+∠APD=90°，因为∠CAE=∠PAD，所以
∠AEC=∠APD=∠CPE CE=PC=EF。因CD//EF, PQ//BF, 得到直角三角形BEF和直角三角形CPQ全等（角，边，角） CQ=BQ CQ-EQ=BE-CQ
故BQ=CE

原来题目,有错误,已经更正:
在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的高,AE为∠CAB的角平分
线，AE交CD于点P，过点P作AB的平行线交BC于Q,试说明BQ=CE
证明:
∵AE为∠CAB的角平分线，
∴∠CAE=∠EAB=1/2∠CAB,
∵∠ACB=90°,
∴在Rt△AEC中,有
CE=ACtan∠CAE=ACtan1/2∠CAB,
在Rt△ABC中,有
CB=ACtan∠CAB,
∵CD为斜边AB上的高,
∴在Rt△ADC中,有
CD=ACsin∠CAB,AD=ACcos∠CAB,
在Rt△ADP中,有
PD=ADtan∠EAB=ACcos∠CABtan1/2∠CAB,
在Rt△BDP中,∵PQ‖AB,
∴CB/QB=CD/PD,
即ACtan∠CAB/QB=ACsin∠CAB/(ACcos∠CABtan1/2∠CAB),
即QB=AC