设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M,若三角形F1F2M为等腰直角三角形,

x²/a²+y²/b²=1
F2(c,0)
则垂线x=c
c²/a²+y²/b²=1
y²=b²(1-c²/a²)=b²(a²-c²)/a²=b^4/a²
|y|=b²/a
MF2=b²/a
F1F2=2c
所以b²/a=2c
a²-c²=2ac
c²+2ac-a²=0
c=(-2a±2√2a)/2=-a±√2a
c/a=-1±√2
0<e<1
所以e=c/a=-1+√2

我设那个点M为点P吧，好说一点

解:由椭圆的定义可知:
F1P+F2P=2a
F1+F2=2c
因为F1=F2=a
所以根据勾股定理可得a^2+a^2=(2c)^2,解得:

a=根号2c
所以e=c/a=1/根号2