问一个关于应用微分的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 04:46:21
一个水缸里有1000升盐水，每1升盐水有0.15kg盐。此时，浓度为0.25kg/L的盐水开始往水缸里注水，速率为4L/s。同时，水缸也开始放水（放的是两种浓度盐水的混合物），速率同样为4L/s。求水缸里的水量A与时间t的关系，并且求A'(t)。

由于注水和放水速率一样，所以缸里的水量保持不变。A(t)=0，A'(t)=0；
如果你的问题是水缸中的含盐量M的话，用微元法分析：
记时间微元dt，在这段时间间隔内流入和流出盐水体积dV，流量Q=4L/s，所以dV=Qdt，记原先的含盐量为M，流入水缸的盐量为0.25dV，那么流出的为：
[(M+0.25dV)/(1000)]dV
而含盐量的变化dM=0.25dV-[(M+0.25dV)/(1000+dV)]dV
略去二阶无穷小量，并记1000+dV≈1000，得到微分方程：
dM=(0.25-0.001M)dV=(1-0.004M)dt
即dM/dt+0.004M=1，初始条件M(0)=1000×0.15=150
解这个一次线性方程就可以了。