已知数列an=(a（n-2)）+(a（n-1)）且a1=1,a2=1求an的通项公式

楼主你好，这道数列又叫裴波那契数列，是由1,1,2,3,5,8,13,.....
递推公式:F(n+2)=F(n+1)+F(n)
初始条件:F(1)=F(2)=1

它的通项求解如下:
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
F(n+2)-F(n+1)-F(n)= 0
令F(n+2)-aF(n+1)=b(F(n+1)-aF(n))
F(n+2)-(a+b)F(n+1)+abF(n)=0
对照系数得a+b=1 ab=-1
由韦达定理知a与b为二次方程 x^2-x-1=0的两个根
解得a=(1+√5)/2 b=(1-√5)/2
或 a=(1-√5)/2 b=(1+√5)/2

令G(n)=F(n+1)-aF(n)
则G(n+1) = bG(n)
且G(1)=F(2)-aF(1)=1-a=b
G(n)为等比数列G(n)=b^n
即F(n+1)-aF(n)=G(n)=b^n

由对称性不妨设x=(1+√5)/2 y=(1-√5)/2
F(n+1)-xF(n)=y^n
F(n+1)-yF(n)=x^n
两式相减得
(x-y)F(n)=x^n-y^n
F(n)=(x^n-y^n)/(x-y)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5