2008年数三真题的一道填空题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/02 08:10:22
设D={(x.y)l x^2+y^2<=1},则(x^2-y)dxdy在D上的二重积分=？
答案说要求的二重积分=x^2在D上的二重积分，这个我明白，因为y是奇函数，但我用的文登的书说也该二重积分也等于1\2（x^2+y^2）在D上的二重积分，这是为什么呢

因为D关于x=y对称，也就是说x和y可以互换
这样理解吧，假设在D上有一点(A,B)（对换前x=A,y=B）则在D上必有另一点(B,A)（因为对换xy，所以还是x=A,y=B）
因此，在D上原积分和对换x,y后的积分相等
即原积分=x^2在D上的二重积分
即原积分=y^2在D上的二重积分
两式想加，除以2，就得出题中的结论

若D关于x=y对称，则
f(x,y)在D上的二重积分=f(y,x)在D上的二重积分