证明：过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B，直线垂直与X轴时|AB|最短。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 15:44:02
证明：过椭圆x^2+4y^2=4的右焦点F的直线与椭圆相交于A、B，直线垂直与X轴时|AB|最短。

请证明一下，其实也就是证明不是垂直的时候，|AB|＞1.

a=2，c=根号3
设过右焦点的直线交椭圆与两点，横坐标分别是X1和X2
则根据焦半径公式a-ex0，得知，他们到焦点的距离分别是2-二分之根号三X1，2-二分之根号三X2，线段长：|AB|=4-2分之根号3（X1+X2）
设直线为y=k（x-根号3）与椭圆方程连立，消去y得
（1+4k^2）X^2-8根号3k^2x+12k^2-4=0
X1+X2=8根号3k^2/（1+4k^2）
线段长：|AB|=4-2分之根号3（X1+X2）=4-12k^2/(1+4k^2)
=4-[(12k^2+3)-3]/(1+4K^2)=1+3/(1+4k^2)>1
根号不会打哦，将就看吧
呵呵

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