初2-3 5道竞赛题

△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，求证：∠BAO＝∠CAD
分析：分别延长AO，AD交⊙O于E、F，构成圆周角的基本图形
证法一：延长AO交⊙O于E，连BE，则∠BEA=∠C
∵AO是⊙O半径
∴AE为⊙O直径
∴∠EBA=90°
∴∠BAO+∠BEA=90°
在△ABC中
AD⊥BC于D
∴∠C+∠DAC=90°
又∵∠C=∠BEA
∴∠BAO=∠CAD

证法二：过O作OG⊥AB于G，交⊙O于H，连OB
由垂径定理 AH=BH= AB
∴∠AOH= ∠AOB
又∠AOB与∠C分别是AB所对的圆心角与圆周角
∴∠C= ∠AOB
∴∠C=∠AOH
又OG⊥AB，AD⊥BC
∴∠BAO+∠AOH=90°
∠DAC+∠C=90°
∴∠BAO=∠DAC

证法三：延长AO，AD分别交⊙O于E，F，连结EF
∵AE是直径
∴∠F=90°
又AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴EF‖BC
∴BE=CF
∴∠BAO=∠CAD