【200分】一道函数题

已知函数f(x)=x|x-a|,其中a∈R
(1)判断函数f(x)的奇偶性
(2)解关于x的不等式:f(x)>=2(a^2)
(3)设集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈R,有f(x+k)=kf(x)成立,问是否存在实数a,使得f(x)=x|x-a|属于集合M.若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.

1.
a=0时，f(x)=x*|x|,f(-x)=(-x)*|-x|=-x*|x|=-f(x)，函数为奇函数
a不等于0时，f(-x)=(-x)*|-x-a|f(-x)=(-x)*|-x-a|=-(x*|x+a|)不等于-f(x)也不等于f(x)，这个函数非奇非偶

2.
f(x)≥2a^2 =〉x|x-a|≥2a^2
分区间讨论：
a=0时，x^2≥0，恒成立x∈R
a〉0时，不等式右边恒大于0，|x-a|〉0，所以x>0
0<x<a时,x|x-a|=x*(a-x)≥2a^2
=〉(x-a/2)^2+(7/4)*a^2小于等于0，两个平方相加〉0，所以此时无解
x大于等于a时，x|x-a|=x*(x-a)≥2a^2
=〉(x-2*a)*(x+a)≥0
解得x大于等于2*a
a<0时，不等式右边恒大于0，|x-a|〉0，所以x>0
x|x-a|=x*(x-a)≥2a^2
=〉(x-2*a)*(x+a)≥0
解得x大于等于-a

3.
f(x-k)=(x-k)*|x-k-a|=k*x*|x-a|
x>a时，
f(x)=x*(x-a)
f(x-k)=(x-k)*(x-k-a)=k*x*(x-a)
得到式子(1-k)*x^2+(a*k-2*k-a)*x+k^2=0若要求对任意x∈R都成立，则二次项、一次项、常数项的系数都为零，可以求出这是矛盾的，所以这样的a不存在。
x<a时，
f(x)=x*(a-x)
f(x-k)=(x-k)*(a-x+k)=k*x*(a-x)
得到式子(k-1)*x^2+(a-k+2*k-a*k)*x-k^2-a*k=0
若要求对任意x∈R都成立，则二次项、一次项、常数项的系数都为零，可以求出这是矛盾的，所以这样的a不存在。

已知函数f(x)=x|x-a|,其中a∈R
(1)判断函数f(x)的奇偶性
因为：
f(x)=x|x-a|，