在三角形ABC中,中线BE,CF交予点O,且BE垂直CF,AC=b,AB=c(c>b)求BC的长

中线交点把中线分成1:2
所以设OB=x,OC=y
a^2-x^2=(b/2)^2-(x/2)^2
(a^2-y^2)=(c/2)^2-(y/2)^2
x^2+y^2=a^2

3个未知数3个方程，可以解出a

设BC=a，BD、CE相交于点O
则DE=1/2a
∵OE²+OB²=(1/2c)²=1/4c²
OC²+OD²=(1/2b)²=1/4b²
∴OE²+OB²+OC²+OD²=1/4c²+1/4b²
∵OB²+OC²=a²，OD²+OE²=DE²=1/4a²
∴1/4c²+1/4b²=a²+1/4a²
∴5a²=b²+c²
∴a=√5/5[√(b²+c²)]
即BC=√5/5[√(b²+c²)]

设OE=x,OF=y,BC=a,根据重心的性质，BO=2OE,CO=2OF，BE⊥CF，
△BOF，△COE，△BOC均是RT△，
BO^2+OF^2=BF^2,
CO^2+OE^2=CE^2,
BO^2+CO^2=BC^2,
x^2+(2y)^2=(b/2)^2,
x^2+4y^2=b^2/4,........(1),
4x^2+y^2=c^2/4,.........(2),
4x^2+4y^2=a^2,...........(3),
(1)+(2)得：,
5(x^2+y^2)=(b^2+c^2)/4,
x^2+y^2=(b^2+c^2)/20,
a^2=4(x^2+y^2)=(b^2+c^2)/5,
∴a=√5（b^2+c^2)/5.

ef//BC 因为EF都是中点, 所以 EF=0.5