高等数学 微积分 用拉格朗日定理证明

这个x＞0时有f(x)-f(0)=f'(m)m,其中m在（0，x）上，由已知f(0)=0故有f（x）＞0

证明：在（0—+无穷）去一个数b,
因为x>0时,f'(x)>0。
根据f(b)-f(a)=ξf'(ξ）ln(b/a);其中f(x)在[a,b]连续可导，b>a,ξ∈(a,b)
所以，f(x)在（0,b]连续可导，b>0,ξ∈(0,b]，由柯西中值定理得。令g(x)=ln(x)则
[f(b)-f(0)]/[g(b)-g(0)]=f'(ξ)/g'(ξ),
因为f'(ξ)/g'(ξ)>0,ln(b/a)是曾函数,故[g(b)-g(0)]>0.所以f(b)>0.同理f(x)>0