高中数学圆锥曲线抛物线部分

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 12:49:18
设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p^2.

基本证明题，不太会证，望高手赐教，谢谢！！！！！！！！！

急~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

当斜率不存在的时候 ，你自己证明一下很简单的

当斜率存在
设为k 焦点是(p/2，0），
y-0 =k（x-p/2）

y=kx-pk/2

k²x²-pk²x+p²k²/4=2px

x1+x2=（pk²+2p）/k²
x1x2= p²/4

y1y2=(kx1-pk/2)(kx2-pk/2)
=k²x1x2-pk²(x1+x2)/2 +p²k²/4
=p²k²/4- p²（k²+2）/2 +p²k²/4
=-p²

证明：由题意，可设两交点A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb).又F(p/2,0).由三点A,B,F共线得，ab=-1/4.===>y1*y2=2pa*2pb=(4p^2)*(ab)=-p^2.