数的组合 50分追加

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 12:01:33
这里有道题：
对于正整数n，规定n！=1*2*3*…*n，则乘积1！*2！*3!*…*9！的所有约数中，是完全平方数的有几个。

我只不过弄出1，4，9，16，25到81，具体的组合就不会了
最好能给出类似公式，能给出充足的数的组合的资料的话追50分

把积分解质因数，得
30个2，13个3，5个5，3个7；
最大完全平方约数的平方根为
15个2，6个3，2个5，1个7；
它的约数的个数即是原数完全平方因数的个数，即
(15+1)*(6+1)*(2+1)*(1+1)=672个

楼主的思路有偏差，完全排出来显然不是办法

首先要化简原式1！*2！*3!*…*9！=2^8*3^7*4^6*5^5*6^4*7^3*8^2*9=2^30*3^13*5^5*7^3
它约数完全平方数=m^2
因此m只可能是2，3，5，7的组合。不妨设m=2^x*3^y*5^z*7^w
那么2|x,y,z,w;所以不妨设x=2r,y=2s,z=2t,w=2k
又由于是约数，所以要满足
0<=2r<=30,0<=2s<=13,0<=2t<=5,0<=2k<=3
一组不同的（r,s,t,k）对应一个是完全平方数的约数。
r有16种取法，s有7种，t有3种，k有2种
因此这样的约数就有16*7*3*2=672种