复数指数形式与EULER定理

用泰勒(麦克劳林)展开式展开(不会的话自己去找高数的书看一看吧)
sinx=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!+......
cosx=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!+......
∴cosx+isinx=1+ix+[(ix)^2]/2!+[(ix)^3]/3!+[(ix)^4]/4!+[(ix)^5]/5!+[(ix)^6]/6!+......
=exp(ix). Q.E.D
由以上结论易得e^(πi)+1=0
另:楼上的答非所问了吧

怎么会想起要写 Euler 乘积公式的？因为打算在不远的将来写写 Riemann 猜想， 这是上个世纪的数学家们没能啃下来的命题中最著名的一个。 Euler 乘积公式是 Riemann 研究素数分布的起点之一， 也是他提出 Riemann 猜想的著名论文中的第一个公式。
Euler 乘积公式： 对任意复数s， 若 Re(s)>1， 则: ∑n n-s = ∏p(1-p-s)-1

这一公式是 Leonhard Euler (1707 - 1783) 于 1737 年在一篇题为 «对无穷级数的若干观察» 的论文中提出并加以证明的，式中 n 为自然数，p为素数。Euler乘积公式将一个对自然数的求和表达式与一个对素数的连乘积表达式联系在一起，蕴涵着有关素数分布的重要信息。这一信息在隔了漫长的122年之后终于被 Bernhard Riemann (1826 - 1866) 所破译，于是便有了Riemann 的著名论文«论小于给定数值的素数个数»。为了纪念 Riemann 的贡献，Euler乘积公式左端的求和式被冠以Riemann的大名，并沿用Riemann使用过的记号ζ(s)， 称为Riemann ζ函数。

Euler 乘积公式的证明十分简单，唯一要小心的就是对无穷级数和无穷乘积的处理，不能随意使用有限级数和乘积的性质。我们在下面证明的是一个更为普遍的结果，Euler乘积公式将作为该结果的一个特例出现。

广义 Euler 乘积公式[注一]