小虫爬绳问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 07:06:41
有一只小虫和一条一米长的绳子，小虫从绳子的一端开始爬，小虫每秒爬1cm，当小虫每爬完1cm，绳子就会拉长1m,问小虫能否爬到绳子的另一端，要用多久的时间？
[注意]:绳子拉长时，小虫爬过的距离也会随之变长！

分析：小虫每秒爬1cm，而且每爬1cm后,绳子拉长1m=100cm

第1秒：小虫爬了1cm，绳子长100cm,小虫1秒内爬了绳子全长的1/100 ;小虫一共爬了1/100 米

第2秒：小虫爬了1cm，绳子长200cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/200 ;小虫一共爬了1/100+1/200 米

第3秒：小虫爬了1cm，绳子长300cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/300 ;小虫一共爬了1/100+1/200+1/300 米

...

第n秒：小虫爬了1cm，绳子长n*100cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/n*100;小虫一共爬了1/100+1/200+1/300+...+1/n*100 米

...

设n秒后小虫爬到右边， n满足于条件：

1/100+1/200+1/300+...+1/n*100=1

1+1/2+1/3+1/4+1/5+......+1/n=100

显然 1+1/2+1/3+1/4+1/5+......+1/n 当n趋近于无穷大时是发散数列

既：n-->∞时， 1+1/2+1/3+1/4+1/5+......+1/n =∞

所以 n有解

既求解:1+1/2+1/3+1/4+1/5+......+1/n=100

设：1+1/2+1/3+1/4+......+1/n=S(n)

当n趋近于无穷大的时候
n
S(n)=Lim ∑(1/i)
n->∞ i=1

n
= Lim ∑(1/n)*(n/i)
n->∞ i=1

1
=∫ dx/x
0

因为∫dx/x = ln(x)

1+1/2+1/3+1/4+......+1/