连续统假说

连续统假设是说可数无限基数（比如有理数）和实数不可数基数之间不再有其它基数。

对于有限集合，你可以认为基数就是集合中元素的个数。
无限集是没法计算个数的，人们用建立一一映射的方法给无限集定义了基数。
比如全体自然数就是无限集，全体有理数也是无限集；
因为有理数都能表示成m/n（m、n都是整数），所以我可以用2^m x 3^n使有理数一一映射到全体自然数的一个子集上；反过来全体自然数N可以一一映射到N/1（有理数的一个子集）；
如此就能证明自然数和有理数的基数是相同的，称其基数是可数无限的。

但是实数是不可数的，我们可以反证；
假设实数可数，那我们可以象自然数一样对其排队,
自然数排队如1、2、3、4、...n...
实数排队是A1、A2、A3、...An...
由于实数可以写成无限小数（有限小数可以在后面添加无限个0），那么实数排队一定可以写成：
A11 A12 A13...A1n...
A21 A22 A23...A2n...
A31 A32 A33...A3n...
...
An1 An2 An3...Ann...
...
其中，A11表示A1的最高位数字，A12表示A1的第二位数字，依此类推，
现在我手工造一个实数Ak，令Ak1≠A11、Ak2≠A22、Ak3≠A33...Akn≠Ann，
那么实数Ak和前面排队里的每个实数都不相等，这就说明实数和自然数之间无法建立一一映射，称实数是不可数的。

再看连续统假设，自然数基数和实数基数之间不再有其它基数；哥德尔和科恩证明了，连续统假设和集合理论是相互独立的，就是说无论从谁出发都证明不了对方的正确性；但是很多人对连续统假设的真理性持怀疑态度，一直在寻找可以替代它的公理。

选择公理是说，任意不空的集合组成一个集合族，一定能找到一种办法从其中每个集合里选出一个元素。
和连续统假设一样，选择公理是独立的；
如果不用选择公理，很多数学分支都会灭亡，连微积分的理论基础都会成问题；
而用了选择公理，会产生如巴拿赫-塔斯基悖论（一个球切成有