圆和直线的关系，在线等

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/05 07:43:13
是以BC为直径的圆O上的一点，AD垂直BC与点D，过B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB 的延长线相交于点P。 （1）求证：BF=EF
（2）求证：PA是圆O的切线
（3）若FG=BF，且半径长3根号2，求BD和FG的长度。

证明：
（1） 在RtΔCGD和RtΔCFB中,GD=AD/2,BF⊥BC,AD⊥BC
∴ RtΔCGD∽RtΔCFB
(AD/2):BF=CD:BC,即BC:BF=2CD:AD......1)
过D作DH//FA交BF于H,则AD=FH
则 RtΔGHF∽RtΔCBF
BC:BF=BD:FH=BD:AD...................2)
比较1）、2） 可得：BD=2CD
又 RtΔCBE∽RtΔCDA
则 AD:BE=CD:BC=CD:(BD+CD)=1:3
即 AD=BE/3
由2）知道，AD:BF=BD:BC=2CD:3CD=2:3,即AD=2BF/3
所以，BE=2BF,即EF=BF
（2）在平行四边形ADHF中，DH=FA
BH=BF-AD,FA^2=BD^2+BH^2=BD^2+(3AD/2-AD)^2=BD^2+AD^2/4
∵ 在RtΔABC中，AD^2=BD*CD=BD^2/2,即，BD^2=2AD^2
∴ FA^2=2AD^2+AD^2/4=9AD^2/4
FA=3AD/2=BF
∵ AF=BF,AO=BO,FO=FO
∴ ΔOBF≌ΔOAF
∴ ∠OBF=∠OAF=90°,OA⊥AF
即，PA是圆O的切线
（3）
若FG=BF，且半径长BO=AO=3√2
则 AD^2+BD^2=FG^2=9AD^2/4
BD=√5AD/2
又 AO^2-(BD-AO)^2=AD^2
(2AO-BD)BD=AD^2
√5AO-5AD/4=AD
AD=(4√5*3√2)/9=4√10/3
所以,BD=(√5/2)AD=2√50/3=10√2/3
FG=3AD/2=2√10