★数学题:关于圆·★

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 03:20:25
已知圆C过P(1,1),且与圆(X+3)平方+(Y+3)平方=R平方 关于直线X+Y+3=0对称.
(1)求圆C的方程
(2)过点P作两条直线分别与圆C相交于点A、B，且直线PA、PB的倾斜角互补，O为坐标原点，判断直线OP、AB是否平行，请说明理由

(1) 从题中知与之对称的圆的圆心为（－3，－3）
对称的直线的斜率为－1
那么两圆圆心所在直线的斜率为1
代入已知圆圆心求出该直线为y=x
按照距离公式算已知圆圆心到对称直线的距离为二分之三根号二，
那么圆C圆心即原点
既然圆C过点P，那么半径即为根号二.
那么圆C方程即为x^2＋y^2=2

(2)因为OP斜率为1即倾角为tan^-1 1=45度
所以若PA或PB斜率小于1即小于45度即交点在OP上方，那么另一点必在OP下方，那么AB,OP必相交，即不平行

若A,B均在OP下方
作水平线L2交垂直线于点Q
延长PA,PB交L2于M,N点（假设A点在B点右边，或可自行掉换）
根据题意PA,PB倾角互补，
那么角PNQ=角PMQ
又因为PQ垂直于MN，
所以PNQ全等于PMQ
所以角MPQ＝角NPQ
设PQ交圆C于点D
PQ垂直X轴且P在过圆心的直线上
所以PO延长线与圆C的交点（设为E好了）与D的连接线平行于X轴
所以D为OP下面半圆弧的中点
因为角MPQ＝角NPQ，即弧AD，弧BD的××角（名字忘记了对不起，就是大小为圆心角一半的那种）相等
所以弧AD，弧BD的圆心角也相等
即弧AD，弧BD等长
所以弧PA，弧EB等长（到这里已经可以看出答案是什么了）

然后
连接AB，PB
角PBA，角BPE为××角（名字忘了对不起），且为直线PE,AB的内错角
因为角PBA，角BPE所对应的弧PA，弧BE相等
所以角PBA＝角BPE
所以内错角相等，
所以PE平行于BA

其实我是用另一种方法作的，比这个繁，式子这里打不了，有兴趣的话可以联系

(1) 从题中知与之对称的圆的圆心为（－3，－3）
对称的直线的斜率为－1
那么两圆圆心所在直线的斜率为1
代入已知圆圆心求出该直线为y=x
按照距离公式算已知圆圆心到对称直线的距离为二分之三根号二，