证明同心圆从外圆任意一点A1做内圆切线交外圆另一点A2依次类推。则A1点总一点An重合

首先，这个结论是不成立的，An可能永远也不跟A1重合。
推导过程如下：
设小圆半径r，大圆半径R
容易算出劣弧A1A2的圆心角为2arcsin(r/R)，显然0<2arcsin(r/R)<π
因此，A(k)->A(k+1)相当于一个同一方向的旋转变换
要An与A1重合，需要满足2(n-1)arcsin(r/R)=2mπ，m,n∈N
则arcsin(r/R)=mπ/(n-1)∈(0,π/2)
可得：r/R=sin(aπ)，a∈Q,0<x<1/2 ……(*)
设函数f(x)=sin(πx)，x∈R(这里的R表示实数集),0<x<1/2
则f'(x)=πcos(πx)>0，函数在(0,1/2)上严格递增
令x=α∈(0,1/2)为无理数，那么，
对于任意有理数a∈(0,1/2)，α不等于a，因此有f(α)不等于f(a)
对于确定的R，令r=Rf(α)，则(*)式永远无法满足，即不存在这样的m,n，使得An与A1重合。
比如，R=1,r=sin(√2π/4)，这样的情况下，无论n取何值，An和A1永远也不会重合。

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